(2)　ローレンツ収縮（動いている系の寸法は縮む）

　これは「動いている物体の寸法は、静止系から見ると実際より縮んで見える」という説です。

(a)　教科書では　　(原文はこちら)

Ｓ系 で静止している長さ の棒を考える。棒は 軸に平行に置かれている物とする。

棒の両端のＳ系 の座標を ，　とすると

　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　(2-3-1)

であって、これは に無関係である。

　この棒を速度 で動いている 系 から見たらその長さはどうなるであろうか。

系 から見ると棒は速度　−　で動いており、その長さは 系 で同時刻 に観測した

棒の 座標の差により与えられる筈である。 系 での長さを とすると


　　　　　　　　　　　　　　　　　　　                           　　　　　　　(2-3-2)

であるが、変換 (2-1-10) により


　　　　　　　　　　     (2-3-3)


である事から


　　　　　　　　　　　　　　　　　　   　 (2-3-4)


という関係が得られ

　　　　　　　　　　　　　　　　  　　　　　　　　　　　　 　　　　 (2-3-5)


となる。従って 系 から見た棒の長さは の割合いで収縮して見える。同様に 系 で

静止している 軸に平行な棒の長さは、Ｓ系 から見ると の割合いだけ収縮して見える。

となっています。

　これも、良く解からないと思われますので補足して説明します。

(b)　補足説明
　

まず、Ｓ系 に置いてある長さ の棒を考えます。この棒

は 軸に平行に置かれてある物とします。

　棒の両端の座標を ,　 とすれば、その長さは


　　　　　　　　　 　　


で表わされます。

　ところで、この棒を速度 で動いている 系 から見た

ら、どう見えるでしょうか。

　 系 から見ると、棒の方が速度 − 　で、つまり反対方向に動いている事になります。

　そして、その長さは 系 で同時刻 に観測した所の棒の 　座標の差により与えられる筈です。

　そこで、棒の両端の座標を , 　と置いてみましょう。そうすると、その長さは


　　　　　　　　　　　　　　　


で与えられる事になります。

　次に、ここに、ローレンツ逆変換（2-1-10) の


　　　　　　　　　　　　　　　　


を持って来て、これに 系 より観測した所の棒の両端の座標 , 　と時刻の とを代入

して、Ｓ系での棒の両端の座標 と を求めてみましょう。

　そうすると

　　　　　　　　　　　　　 　　


が得られます。そこで、この得られた座標　 , 　 よりＳ系 に於ける棒の長さを求めてみます。

棒の長さ は − ですから、


　　　　　　　　　　　　　　　　　


となります。ところで、この式の最後を良く見て下さい。最後の　　は 系 より見た所の棒の長さ

です。従って、この結果より《 Ｓ系 での棒の長さ》と《 系 より見た所の棒の長さ》との間には


　　　　　　　　　　　　　　　　　

         　　　　　　　　　　　（　注；　１／γ ＝ 　については　式(2-1-9)を参照 ）



という関係のある事がわかります。

　そこで、この式を素人にも解かる様に言葉に置き換えてみましょう。そうすると、それは


　　　（ 系 より見た棒の長さ）＝　　×（ Ｓ系 での棒の長さ）


となります。

  　ところで相対論では　　は常に１より小ですので、



　　　　　　　　　　　　　　　　　



　この結果は


　　　　　（ 系 より見た棒の長さ）＜（ Ｓ系 での棒の長さ）


という事になるのです。　そうすると、これは


　《 静止している棒を、動いている系から眺めた場合、その長さは、静止系で見るのに比べて

　　　の割合で縮んで見える 》


という事になり、それはまた逆の見方として


　　《動いている棒を静止系から眺めても、同様に縮んで見える》


という理屈にもなるわけです。そして、ここより


　　《動いている物体の寸法は、これを静止系から眺めると、本来の寸法より縮んで見える》


という結論が得られるのです。

　これが、ローレンツ収縮の理屈です。



　これも、何の気なしに読むと、数式の解る人なら「なるほど！」と思わせられます。

　しかし、これも間違っています。

(C)　誤りの証明


　まず第一の間違いはローレンツ逆変換 (2-1-10) の


　　　　　　　　　　　　　　　　


に 系 での棒の両端の座標　 , と時刻の とを代入すれば、Ｓ系 での棒の両端の座標

, 　が求まると勘違いしている事です。


　この式は、そんな事のための式ではありません。

　これは、光の走った距離と時間の関係式ですから。


　次に教科書が設定している所の , , , 　は棒の両端の座標ですが、これを代入する

所のローレンツ逆変換の ， は棒の両端の座標ではありません。

　これは、光の到達点の ， 座標です。しかして、その実体は光の走行距離の ，　軸方向

成分なのです。

　　　　　　　　　　



　具体的に申しますと、 は静止系に於いて光が走った所の距離 OP の 軸方向成分ですし、 は

動いている系に於いて光が走った所の距離 O′ P′の 　軸方向成分です。

　これを座標と解釈しても図 2-3-4 の中の Ｐ,Ｐ′点の ， 座標に限られます。

　けっして、棒の両端の座標などではありません。

　次に、ローレンツ逆変換の ， もまた光の走行時間でして、任意の時刻ではありません。

　そういうわけですから、ローレンツ逆変換をこのような設定に用いる事は出来ません。

　これは、間違っています。



　そうは言いましても、こういう意見に対しましては

　「棒の両端の位置を図 2-3-4 の中に P₁点,　P₂点として置けば問題無いのでは」

とおっしゃる方があるかも知れませんので、そうすればどうなるかを、やってみましょう。


　棒の両端の位置を静止系の P₁ 点 、

Ｐ₂ 点の位置に置きます。

そして、棒は 軸に平行ですから


　　　　　₁　＝　₂　，　₁　＝　₂


　とします。

　そうして図を作りますと、それは、図2-3-5 の様になります。

　ところが困った事に、ここでも


　　　　　 ₁　＝　 ₂　，　　　 ＝　


とはなりません。

　これは前項と同じ問題です。

　設定では「これは に無関係で」とありましたが、ローレンツ変換を用いる限り無関係とは

なりません。

　設定の は系全体の時刻ですが、ローレンツ変換の は光の走行時間です。

場所が違えば光の到達時刻も違ってきます。当然、時刻は一致しません。

　故に、　₁ ＝ ₂， ＝ 　とはなりません。

　そうするとβ ′の項が消えませんから、式 (2-3-4) は


　　　　　　　　


ではなく

　　　　　　　　　

としなければならなくなります。

　ところが、そうすると、結論の が出て来ませんから、ローレンツ収縮の理論も
生まれて来なくなります。



　それでは不都合ですので β ′の項が消える様に 系

での時刻が一致する所、 系 の原点 O′より同一半径の球

面上に P₁点 と P₂点 とを置いて見ましょう。


　図 2-3-6 のようにすれば 系 での光の走行距離は一定です

から、光の到達時刻は P₁点でも P₂点でも同じになります。

従って、動いている系での時刻も一致します。

　ところが今度は、棒の方が 軸に平行ではなくなってし

まいます。

　その上、Ｓ系 の時刻も一致しません。

　つまり、この様に矛盾を生じてしまうのです。

　かつ、ここの問題は前項の“同時性”の理屈に抵触して来ます。




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